O que você sabe sobre as dimensões?
Talvez seja de conhecimento comum as três dimensões básicas em que um elemento pode se apresentar: largura, altura e comprimento (ou profundidade).
Seu conhecimento está limitado a estas três dimensões? Suponho que você já tenha ouvido falar que haja uma "quarta dimensão". Poderia existir uma "quinta"? Saberia definir estas outras?Pois aqui é o lugar de ficar por dentro desse contagiante assunto!
Mas se você acha que as respostas serão dispostas de forma prática, sinto em lhe informar que não será tão simples assim...
Isto porque nem mesmo a ciência conseguiu tomar uma posição única e concreta com relação a dimensões superiores à terceira... Mas confirma sua existência!
A questão é que há duas explicações físicas: uma de ordem visual e outra de ordem espaço-temporal.
Aqui você lerá sobre os mistérios fascinantes que a presença de um corpo pode apresentar no espaço!
Boa leitura!
quarta-feira, 10 de junho de 2009
Ortogonalidade
Um ângulo reto pode ser definido como um quarto de volta. A geometria cartesiana escolhe arbitrariamente direções ortogonais através do espaço que se constituem em ângulos retos entre si. Três dimensões ortogonais do espaço são conhecidas como comprimento, largura e altura. Portanto, a quarta dimensão é a direção no espaço que está em ângulo reto com estas três dimensões observáveis.
Um "espaço vetorial" é um conjunto de vetores, que podemos imaginar como flechas presas num determinado lugar do espaço (chamado de origem) e que apontam para outros lugares.
Um "ponto" é um objeto com zero dimensão. Não tem extensão no espaço, nem propriedades. Se pensarmos neste ponto como um vetor geométrico, como uma flecha, ele não teria comprimento. Este vetor é chamado de vetor zero e, por si mesmo, constitui-se no vetor espacial mais simples.
Uma "linha" é um objeto unidimensional. Se puxarmos um vetor não-zero em alguma direção, ele terá um comprimento definido. Este vetor tem a "cabeça" em algum ponto no espaço e a "cauda" na origem. Se pensarmos em esticar este vetor duas, três vezes e assim por diante, de modo que ele assuma todos os comprimentos possíveis (mesmo "zero", para obter o vetor zero), teremos uma linha única com uma dimensão de comprimento. Todos os vetores que descrevem pontos nesta linha são ditos como sendo "paralelos" um ao outro. E mesmo que qualquer linha que possamos desenhar tenha alguma espessura mínima (para que possamos vê-la), esta linha idealizada não a possui.
Um "plano" é um objeto bidimensional. Ele tem comprimento e largura mas não espessura — algo como uma folha de papel (mas mesmo o papel tem alguma espessura). Pensar num plano em termo de vetores é um pouco mais complicado. Se imaginarmos pegar um vetor e movê-lo de modo que sua "cauda" tocasse a "cabeça" do antecedente e formasse um vetor com sua "cauda" na origem e a "cabeça" na "cabeça" do segundo vetor reposicionado, teremos um modo razoável de falar sobre soma de vetores. Se tivermos dois vetores que não sejam paralelos, poderemos falar de todos os pontos que podemos atingir esticando um ou nenhum dos vetores e, somando estes vetores em conjunto, seus pontos formarão um plano.
O espaço, tal como o percebemos, é tridimensional. Imaginemos colocar uma linha num plano. Ambos estão "juntados" como num sanduíche. Para ir para um determinado ponto no espaço, podemos imaginar viajar ao longo da linha e então se mover através do plano até o ponto. Temos então três vetores para considerar, um para viajar até certa distância ao longo da linha e dois para atingir um determinado ponto no espaço.
A quarta dimensão, então, pode ser descrita como a "junção" de vários espaços tridimensionais numa linha. Para atingir um ponto determinado no espaço quadridimensional, viaja-se ao longo de espaços tridimensionais e também através da quarta dimensão. A quantidade total de vetores envolvidos é quatro.
Um "espaço vetorial" é um conjunto de vetores, que podemos imaginar como flechas presas num determinado lugar do espaço (chamado de origem) e que apontam para outros lugares.
Um "ponto" é um objeto com zero dimensão. Não tem extensão no espaço, nem propriedades. Se pensarmos neste ponto como um vetor geométrico, como uma flecha, ele não teria comprimento. Este vetor é chamado de vetor zero e, por si mesmo, constitui-se no vetor espacial mais simples.
Uma "linha" é um objeto unidimensional. Se puxarmos um vetor não-zero em alguma direção, ele terá um comprimento definido. Este vetor tem a "cabeça" em algum ponto no espaço e a "cauda" na origem. Se pensarmos em esticar este vetor duas, três vezes e assim por diante, de modo que ele assuma todos os comprimentos possíveis (mesmo "zero", para obter o vetor zero), teremos uma linha única com uma dimensão de comprimento. Todos os vetores que descrevem pontos nesta linha são ditos como sendo "paralelos" um ao outro. E mesmo que qualquer linha que possamos desenhar tenha alguma espessura mínima (para que possamos vê-la), esta linha idealizada não a possui.
Um "plano" é um objeto bidimensional. Ele tem comprimento e largura mas não espessura — algo como uma folha de papel (mas mesmo o papel tem alguma espessura). Pensar num plano em termo de vetores é um pouco mais complicado. Se imaginarmos pegar um vetor e movê-lo de modo que sua "cauda" tocasse a "cabeça" do antecedente e formasse um vetor com sua "cauda" na origem e a "cabeça" na "cabeça" do segundo vetor reposicionado, teremos um modo razoável de falar sobre soma de vetores. Se tivermos dois vetores que não sejam paralelos, poderemos falar de todos os pontos que podemos atingir esticando um ou nenhum dos vetores e, somando estes vetores em conjunto, seus pontos formarão um plano.
O espaço, tal como o percebemos, é tridimensional. Imaginemos colocar uma linha num plano. Ambos estão "juntados" como num sanduíche. Para ir para um determinado ponto no espaço, podemos imaginar viajar ao longo da linha e então se mover através do plano até o ponto. Temos então três vetores para considerar, um para viajar até certa distância ao longo da linha e dois para atingir um determinado ponto no espaço.
A quarta dimensão, então, pode ser descrita como a "junção" de vários espaços tridimensionais numa linha. Para atingir um ponto determinado no espaço quadridimensional, viaja-se ao longo de espaços tridimensionais e também através da quarta dimensão. A quantidade total de vetores envolvidos é quatro.
Conceito
O conceito de uma quarta dimensão é algo freqüentemente descrito considerando-se suas implicações físicas; isto é, sabemos que em três dimensões temos as dimensões de comprimento (ou profundidade), largura e altura. A quarta dimensão (espacial) é ortogonal às outras três dimensões espaciais. As direções principais nas três dimensões conhecidas são chamadas de em cima/baixo (altitude), norte/sul (longitude) e leste/oeste (latitude). Quando falamos da quarta dimensão, um par de termos adicional é necessário. Entre aqueles comumente empregados, incluem-se ana/kata (algumas vezes chamados de spissitude/spassitude), vinn/vout (usados pelo escritor Rudy Rucker) e upsilon/delta.
Para ser mais preciso, a quarta dimensão deveria ser identificada com o tempo (ou dimensão temporal). Todavia, entre as décadas de 1870 e 1920 na Grã-Bretanha e nos Estados Unidos, a expressão caiu no gosto popular com o significado de "quarta dimensão espacial" (ou seja, seria na verdade uma "quinta dimensão") e daí disseminou-se por todos os campos das artes e ciências, tornando-se "uma metáfora para o estranho e o misterioso" (Kaku, 2000, p. 41).
Confira esta demonstração 3D:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/55/8-cell-simple.gif
Para ser mais preciso, a quarta dimensão deveria ser identificada com o tempo (ou dimensão temporal). Todavia, entre as décadas de 1870 e 1920 na Grã-Bretanha e nos Estados Unidos, a expressão caiu no gosto popular com o significado de "quarta dimensão espacial" (ou seja, seria na verdade uma "quinta dimensão") e daí disseminou-se por todos os campos das artes e ciências, tornando-se "uma metáfora para o estranho e o misterioso" (Kaku, 2000, p. 41).
Confira esta demonstração 3D:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/55/8-cell-simple.gif
Analogia Dimensional
Para fazer o salto de três para quatro dimensões, emprega-se comumente um truque denominado "analogia dimensional". Analogia dimensional é estudar como (n – 1) dimensões se relacionam com "n" dimensões e então deduzir como “n” dimensões se relacionariam com (n + 1) dimensões.
Por exemplo, no livro Flatland ("Planolândia - um romance de muitas dimensões"), Edwin Abbott escreve sobre um certo Sr. Quadrado que vive num mundo bidimensional, como a superfície de uma folha de papel. Um ser tridimensional (uma esfera) surge em seu mundo e parece (do ponto de vista do "chatalandês") ter poderes quase divinos: é capaz de tirar objetos de dentro de um cofre sem abrí-lo (ou seja, movendo-o através da terceira dimensão), ver através das paredes (bidimensionais) e ficar completamente invisível apenas movendo-se umas poucas polegadas na terceira dimensão. Ao aplicar a analogia dimensional, pode-se deduzir que um ente quadridimensional seria capaz de feitos similares da nossa perspectiva tridimensional. Rudy Rucker demonstra isto em seu romance "Spaceland", na qual o protagonista encontra seres quadridimensionais que demonstram tais poderes.
Uma aplicação útil da analogia dimensional em visualizar a quarta dimensão está na projeção. Uma projeção é um modo de representar um objeto n-dimensional em n − 1 dimensões. Por exemplo, telas de computador são bidimensionais, e todas as fotografias de pessoas, coisas e lugares tridimensionais são representadas em duas dimensões removendo-se a informação sobre a terceira dimensão. Neste caso, a profundidade é removida e substituída por informação indireta. A retina do olho é uma matriz de receptores bidimensional, mas ela permite que o cérebro perceba a natureza de objetos tridimensionais usando informações indiretas (tais como sombreado, perspectiva, visão binocular etc) para dar profundidade tridimensional a imagens bidimensionais.
De forma similar, objetos na quarta dimensão podem ser matematicamente projetados nas 3 dimensões familiares, onde elas podem ser então mais convenientemente examinadas. Neste caso, a "retina" do olho quadridimensional é uma matriz de receptores tridimensionais. Um ser hipotético com tal visão poderia perceber a natureza de objetos quadridimensionais usando informações indiretas contidas na imagem que recebe em sua retina. A projeção em quatro dimensões produz efeitos semelhantes às do caso tridimensional, tais como perspectiva. Isto acrescenta profundidade quadridimensional à estas imagens.
Por exemplo, no livro Flatland ("Planolândia - um romance de muitas dimensões"), Edwin Abbott escreve sobre um certo Sr. Quadrado que vive num mundo bidimensional, como a superfície de uma folha de papel. Um ser tridimensional (uma esfera) surge em seu mundo e parece (do ponto de vista do "chatalandês") ter poderes quase divinos: é capaz de tirar objetos de dentro de um cofre sem abrí-lo (ou seja, movendo-o através da terceira dimensão), ver através das paredes (bidimensionais) e ficar completamente invisível apenas movendo-se umas poucas polegadas na terceira dimensão. Ao aplicar a analogia dimensional, pode-se deduzir que um ente quadridimensional seria capaz de feitos similares da nossa perspectiva tridimensional. Rudy Rucker demonstra isto em seu romance "Spaceland", na qual o protagonista encontra seres quadridimensionais que demonstram tais poderes.
Uma aplicação útil da analogia dimensional em visualizar a quarta dimensão está na projeção. Uma projeção é um modo de representar um objeto n-dimensional em n − 1 dimensões. Por exemplo, telas de computador são bidimensionais, e todas as fotografias de pessoas, coisas e lugares tridimensionais são representadas em duas dimensões removendo-se a informação sobre a terceira dimensão. Neste caso, a profundidade é removida e substituída por informação indireta. A retina do olho é uma matriz de receptores bidimensional, mas ela permite que o cérebro perceba a natureza de objetos tridimensionais usando informações indiretas (tais como sombreado, perspectiva, visão binocular etc) para dar profundidade tridimensional a imagens bidimensionais.
De forma similar, objetos na quarta dimensão podem ser matematicamente projetados nas 3 dimensões familiares, onde elas podem ser então mais convenientemente examinadas. Neste caso, a "retina" do olho quadridimensional é uma matriz de receptores tridimensionais. Um ser hipotético com tal visão poderia perceber a natureza de objetos quadridimensionais usando informações indiretas contidas na imagem que recebe em sua retina. A projeção em quatro dimensões produz efeitos semelhantes às do caso tridimensional, tais como perspectiva. Isto acrescenta profundidade quadridimensional à estas imagens.
Cubo com direções em quatro dimensões (ana/kata), criando um hipercubo.
A analogia dimensional também ajuda a entender tais projeções. Por exemplo, objetos bidimensionais são delimitados por limites unidimensionais: um quadrado é delimitado por quatro bordas. Objetos tridimensionais são delimitados por superfícies bidimensionais: um cubo é delimitado por 6 quadrados. Aplicando-se analogia dimensional, pode-se deduzir que um cubo quadridimensional, conhecido como tesseract, é delimitado por volumes tridimensionais. E realmente, este é o caso, matematicamente falando: o tesseract é delimitado por 8 cubos. Saber isto é a chave para compreender a interpretação tridimensional de uma projeção do tesseract. Os limites do tesseract projetam-se em "volumes" na imagem, não meramente em superfícies bidimensionais. Isto ajuda a entender características de tais projeções que, de outra forma, seriam muito intrigantes.
Igualmente, o conceito das sombras nos ajuda a entender melhor a teoria das quatro dimensões. Se você lançar uma luz sobre um objeto tridimensional, ele irá projetar uma sombra bidimensional. Logo, a luz que incide sobre um objeto bidimensional projetará uma sombra unidimensional (num mundo bidimensional), e a luz sobre um objeto unidimensional num mundo unidimensional projetará uma sombra zero-dimensional, ou seja, um ponto sem luz. Esta idéia pode ser usada em outra direção; uma luz lançada sobre um objeto quadridimensional projetará uma sombra em três dimensões.
Como exemplo disso, imagine-se que uma luz seja emitida através de um cubo de arame sobre uma superfície plana. A sombra resultante é a de um quadrado dentro de um quadrado com cada um dos lados conectados. Similarmente, se um cubo quadridimensional fosse iluminado "de cima", sua sombra seria a de um cubo tridimensional dentro de outro cubo tridimensional.
Seres tridimensionais são capazes unicamente de ver o mundo com seus olhos em duas dimensões; um ser quadridimensional veria o mundo em três. Assim, seria capaz de, por exemplo, ver os seis lados de uma caixa opaca simultaneamente. E não somente isso; simultaneamente, ele seria também capaz de ver o que está dentro da caixa, da mesma forma que em Flatland, onde a Esfera vê objetos no mundo bidimensional e tudo que está dentro deles, ao mesmo tempo. Analogamente, um observador quadridimensional veria todos os pontos em nosso espaço tridimensional simultaneamente, incluindo a estrutura interna de objetos e coisas sólidas, ocultas do nosso ponto-de-vista tridimensional.
Cultura Popular
A quarta dimensão tem sido assunto de fascinação popular desde pelo menos 1877, quando ocorreu em Londres o julgamento do médium Henry Slade, que afirmava ter o poder de manipular objetos na quarta dimensão (retirá-los de dentro de cofres fechados, por exemplo).
A maioria dos simuladores de movimento usam o termo 4-D como propaganda, referindo-se ao movimento dos assentos como "quarta dimensão".
A quarta dimensão influenciou as criações de Pablo Picasso e Marcel Duchamp, bem como os movimentos cubista e expressionista. A quarta dimensão também foi citada em obras literárias de Oscar Wilde, Fiódor Dostoiévski, Marcel Proust e Joseph Conrad, e está presente em músicas escritas por Alexander Scriabin. Despertou grande atenção de outras personalidades, como William James, Gertrude Stein e até mesmo Vladimir Lênin.
Salvador Dali usou o tesseract em sua famosa pintura Christus Hypercubus, que retrata Cristo crucificado numa cruz quadridimensional.
Alex Garland escreveu um romance intitulado "O tesseracto" (ISBN 8532512178), onde entrelaça as trajetórias de vida de vários personagens como se estivesse montando o hipercubo citado no título.
A maioria dos simuladores de movimento usam o termo 4-D como propaganda, referindo-se ao movimento dos assentos como "quarta dimensão".
A quarta dimensão influenciou as criações de Pablo Picasso e Marcel Duchamp, bem como os movimentos cubista e expressionista. A quarta dimensão também foi citada em obras literárias de Oscar Wilde, Fiódor Dostoiévski, Marcel Proust e Joseph Conrad, e está presente em músicas escritas por Alexander Scriabin. Despertou grande atenção de outras personalidades, como William James, Gertrude Stein e até mesmo Vladimir Lênin.
Salvador Dali usou o tesseract em sua famosa pintura Christus Hypercubus, que retrata Cristo crucificado numa cruz quadridimensional.
Alex Garland escreveu um romance intitulado "O tesseracto" (ISBN 8532512178), onde entrelaça as trajetórias de vida de vários personagens como se estivesse montando o hipercubo citado no título.
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